悖论有三种主要形式：
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的。
2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
如果R是第一类的，R是自己的元素，但由定义，R只由第二类集合组成，于是R又是第二类集合；如果R是第二类集合，那么，由R的定义，R必须是R的元素，从而R又是第一类集合。总之，左右为难，无法给出回答。这就是著名的“罗素悖论”。
相关案例 罗素悖论世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。既然他说错了，就应该被处绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。由著名数学家伯特兰·罗素提出的悖论与之相似：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是村里不属于自身的那些集合，并且村里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
形成影响 罗素悖论十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了”可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论：1、理查德悖论
2、培里悖论 3．格瑞林和纳尔逊悖论。
以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，人们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用。
罗素悖论理性不能回答关于其自身的问题，这个问题在康德时期就发现了。逻辑存在无法弥补的漏洞，却是人了解世界的唯一途径。到头来你会发现，不是否定理性就是否定信仰。因为所谓唯心唯物之争都是建立在这样不完备的逻辑体系上的纯粹理性科学。既然理性无法对其自身做出判断，那么选择立场就不能以理性为依据，从而变成一种实质上的迷信。当然如果你坚持要说自己的立场是合乎所谓的科学或实践的，那么其实你既不属于唯物也不属于唯心，本质上只是一种泛经验主义或者泛逻辑主义罢了。当然，这里的逻辑主义当然不是罗素的那个，只是一个形象点的称呼而已。异己词悖论和罗素悖论还有其它的不同吗？
思考这个问题的动机原是这样：是否所有能导致两难推理的悖论都有相同结构？如果不是，能不能把它们按照逻辑结构来分类？从而能够更加清晰地看清每一类悖论产生的根源。比如罗素悖论，用符号表示出来，就可看出，它用了这样一个定义模式：x是S的，如果x不是x的。而在定义S时，S本身又可以用它自己的定义来判定，即可以把定义中的x换成S，导致这样一个语句：S是S的，如果S不是S 的。注意在定义中的两个语句互为充要条件，所以原来的定义中就蕴含了一个“P等价于非P”的结论，从而导致两难推理。这种定义模式本身是逻辑中的漏洞，康托的朴素集合论正因为没有防范的机制而陷入了这个逻辑漏洞，才导致了集合论形式的罗素悖论。罗素悖论已被消除，自己包含自己的集合是不可能存在的。
公理体系 罗素悖论不加定义的概念在类的公理体系中，有一些基本的概念是不加定义的，人们只能从其客观含义上给予解释，但这样的解释仅仅起到帮助理解这些概念。数学中研究的任何一个客体对象都称为一个类。类的概念是没有任何限制。类与类之间可能存在着一种称为属于的关系，类A属于类B记为AinB，此时也称类A是类B的一个元素。人们可以把类理解成为是由若干元素组成的一个整体。一个类是否是另一个类的元素是完全确定的，这就是类元素的确定性。类A如果不是类B的元素，则称A不属于B，记为AnotinB。另一个不加定义的概念就是：类总是具有一定的性质，人们常以P表示类x具有性质P。人们可以把性质理解为“关于类的一句表述”。人们还认为逻辑学中的基本概念与基本知识是类理论的基础。
类的外延公理
公理ⅠforallA,B)。
公理Ⅰ的含义是：两个类“相等”的充要条件是它们的元素完全相同，这就是说，类完全由其元素确定。类的所有元素可以通俗地称为它的外延，正因如此，公理Ⅰ被称为外延公理。由此人们可以定义：
定义1.1两个类A、B，如果它们的元素完全相同，则称这两个类是相等的，记为A=B。
因此，类完全由其外延确定。由外延公理人们可以得出：类中的元素是不会重复出现的，这就是类元素的互异性；类中的元素是不计其出现在类中的顺序的，这就是类元素的无序性。一个类可能由若干元素组成，而它本身又可能成为另外的类的元素，这就是类元素的相对性。
类的内涵与罗素悖论
一般地说，类中的元素总是具有某种共同的性质的，这就是类的元素的同质性。一个类的所有元素所共同具有的、而且是这个类的元素所独有的性质通俗地称为该类的内涵。类的内涵与外延之间存在着直观的“反比关系”：类的内涵越多，其外延越小；内涵越少，其外延越大。对于类的内涵问题，人们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致如下的悖论：
罗素悖论设性质P表示“xnotinx”，现假设由性质P确定了一个类A----也就是说“forallx”。那么现在的问题是：AinA是否成立？首先，若AinA，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知AnotinA其次，若AnotinA，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以AinA。
罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论：理发师悖论某理发师发誓“要给所有不自已理发的人理发，不给所有自己理发的人理发”，现在的问题是“谁为该理发师理发？”。首先，若理发师给自己理发，那他就是一个“自己理发的人”，依其誓言“他不给自己理发”；其次，若“他不给自己理发”，依其誓言，他就必须“给自己理发”。而书目悖论也是罗素悖论的一种通俗表达形式。
为解决此类悖论，人们把类区分为两种：
定义1.2如果存在类B,而类A满足条件“existsB”，则称类A为一个集合，记为Set。
定义1.2说明，一个集合是类的一种，它可以成为其它类的一个元素，这也正是集合的"严格"定义。
有另一种集合的定义：已存在一个类B,其中凡是符合属性P的，可以构成一个类A。类A则是一个集合，或者说是B的一个子类。但对此种定义，人们可以提出质疑，不能保证A不是真类。但人们还是乐于接受该定义的。但定义说不上严格。集合能进行各种类运算。真类不是集合的类就是真类。真类是一种能以自身作为元素的类，对于真类，类运算并不一定都能进行。一个真类却不能成为其它类的元素。因此人们可以理解为“本性类是最高层次的类”。罗素悖论等于用反证法证明了真类的存在。但真类是抽象难理解的。但是，“类和集合是非常一般的概念，什么是集合的问题是不能彻底回答的。只有随着数学实践来确定哪些类是集合，哪些类是真类，任何时间，总有一些类无法确定其到底是不是集合。”
类的内涵公理
公理Ⅱ设P是一个性质，则existsAwedgeSet))。
公理Ⅱ的含义是：满足一定性质的所有集合可以组成一个类。
内涵公理能够解决罗素悖论：令P为“xnotinx”，依内涵公理，人们不能确定所有满足P的类能否构成一个类，人们只能确定满足P的所有集合能够构成一个类A，人们有结论“AinAiffPwedgeSet”，即“AinAiffAnotinAwedgeSet”。此时不会出现悖论，只能得出结果：A不是集合，因此A是本性类，人们把这个类称为罗素类。对于内涵公理，任给一个对所有集合都满足的性质P，如P=Set，则有：性质1.1所有的集合构成一个真类。人们把所有集合构成的类称为极限类，它是类理论所承认的“最大的”类。由公理Ⅰ、公理Ⅱ组成的公理体系人们称为罗素公理体系，这是关于类的理论的最基本的公理体系。
罗素公理体系与罗素悖论
罗素悖论产生的原因，是把真类当成集合。可以说，罗素公理体系在两方面避免罗素悖论：第一，不存在包含自身的集合。第二，“所有”集合的总体不是集合！而是一个真类。因为“所有”一词，包含了自身。以书目悖论为例，根据罗素公理体系，所有符合条件的书的确构成了一个集合，因为它们可以与其它的书进一步构成更大的整体--比如它们和不符合条件的书共同构成了图书馆里所有的书。问题“这本书要记下自己的书名吗？”，即是，它包含自己吗？已经没有回答的意义。因为根据内涵定义，不存在包含真类的集合。所以实物上不存在里面提到的那一本目录书。但注意，这一抽象概念却是存在的，它是一个真类。在理发师悖论里，理发师其实划出了一个真类。如果理发师修改一下自己的说法：“除了我理发师本人之外，我给所有不给自己理发的人理发”，悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个集合。注意：罗素公理体系只是“避免”了罗素悖论，并没有解决罗素悖论。罗素公理体系的提出，是保证不产生悖论，又要求这些公理的范围足够宽，能容纳全部数学。就是说要给数学提供足够的集合。
青蛙效应，逆反效应，镜面效应，沼气，活字印刷术，指南针，罗盘，磁场，礼花。
参考资料1、http://www.cas.ac.cn/html/Dir/2002/01/14/7804.htm2、http://www.confuchina.com/04%20zhishilun/zhuangwen.htm
3、http://www.hongen.com/edu/kxdt/sxwg/kf021401.htm
