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  • 阿基里斯悖论

       时间:2018-04-25 22:22:29     浏览:75    评论:0    
    核心提示:【阿基里斯悖论内容】公元前5世纪,芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000米处开始,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,设所用的时间为t,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿
    【阿基里斯悖论内容】

    公元前5世纪,芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论:

    他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000米处开始,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,设所用的时间为t,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时,他所用的时间为t/100,乌龟仍然前于他10米……
    芝诺解说,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但决不可能追上它。

    关于阿基里斯悖论的另一个解释是:阿基里斯的确永远也追不上乌龟。因为当阿基里斯遵循乌龟的轨迹的时候,会不由自主的慢下来,以跟随着乌龟的节奏前进。

    阿基里斯

    阿基里斯是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟。
    有人用物理语言描述这个问题说,在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2。当时间T=S/时,阿基里斯就赶上了乌龟。
    但是芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T'。对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T'无法度量T=S/以后的时间。

    【推翻阿基里斯悖论】

    其实,我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识,只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论:阿基里斯在跑了
    1000=1000 =10000/9米时便可赶上乌龟。
    人们认为数列1+0.1+0.01+…………是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。
    我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t= t =10t/9
    芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟,就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。
    由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的,对时间是没有限制的,时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件,阿基里斯就追上了或超过了乌龟。
    人们被距离数列1+0.1+0.01+…………好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了,没有考虑到时间数列1+0.1+0.01+…………是很容易达到和超过的了。
    但是不是所有的数列都能达到,所以,我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线,对于点的个数来说,我们就永远无法穷尽它。

    【悖论定义】

    悖论是指一种导致矛盾的命题。悖论来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。 如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。

    把集合分成两类,凡是不以自身作为元素的集合称为正常集,凡是以自身作为元素的集合称为异常集。
    这样,许多日常中常见的悖论都可以归入异常集之中了。

    另外一种悖论是关于无限的,虽然我们现在基本上都能接受极限的理论,但是要把这个理论向那些不懂的人解释还是十分困难的。
    比较经典的有:
    阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟。
    当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。

    “1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”
    康托尔成功地证明了:一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。由于无限,1厘米长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”。

     
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